如何解包含两个变量的代数方程组

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方程两边同时做除法，“解出x”。当方程的一边出现x项或你使用的其他变量时，两边同时做除法，以得到变量本身。例如：

• 4x = 8 - 2y
• (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
• x = 2 - ½y

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将它代入另一个方程中。一定要代入一个方程，而不是你已经用过的方程。代入已经解出的变量后，该方程就只剩下一个变量。例如：

• 已知x = 2 - ½y。
• 还没有做任何改变的第二个方程是5x + 3y = 9。
• 在第二个方程中，用”2 - ½y”代替x：5(2 - ½y) + 3y = 9。

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解剩下的变量。现在，你得到一个只有单个变量的方程。使用普通的代数方法，解出这个变量。如果变量抵消，就跳到最后一步。在其他情况下，你会得到一个变量的解：

• 5(2 - ½y) + 3y = 9
• 10 – (5/2)y + 3y = 9
• 10 – (5/2)y + (6/2)y = 9，如果你不理解这一步的计算过程，可以去学习分数加法。这种方法经常会用到这部分知识，但并非总是如此。
• 10 + ½y = 9
• ½y = -1
• y = -2

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使用答案去解另一个变量。不要犯解题只解一半的错误。你需要把得到的答案代入一个原始方程中，以解出另一个变量：

• 已知y = -2
• 其中一个原始方程为4x + 2y = 8。这一步可以使用两个方程中的任意一个。
• 用-2代替y：4x + 2(-2) = 8。
• 4x - 4 = 8
• 4x = 12
• x = 3

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知道两个变量都抵消时应该怎么做。将x=3y+2或类似的答案代入另一个方程时，你想得到一个只有单个变量的方程。但是有时，你会得到一个没有变量的方程。仔细检查自己的解题过程，确保你把变形后的方程一代入到方程二中，而不是又代回到方程一。如果你确信自己没有犯任何错误，那么你的结果应该属于以下情况中的一种：

• 如果你得到的方程没有变量或等式不成立，例如3 = 5，则问题无解。如果画出两个方程的图形，你会发现它们彼此平行，永不相交。
• 如果你得到一个等式成立的无变量方程，比如3 = 3，则问题有无穷多解。方程组里的两个方程是完全相等的。如果画出它们的图形，你会发现它们是同一条直线。

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对一个方程做乘法，使得一个变量可以抵消。如果变量已经抵消，则跳过此步骤。如果两个方程中没有可以自然抵消的变量，你可以变形其中一个方程，使变量能够抵消。为了便于理解，我们来举例说明：

• 你有一个方程组：3x - y = 3和-x + 2y = 4。
• 首先，变形第一个方程，让变量y能够抵消。你也可以选择x，最后得到的答案是一样的。
• 第一个方程中的- y必须和第二个方程中的+ 2y抵消。你可以用2乘以- y，来达到这一目的。
• 用第一个方程的两边同时乘以2，2(3x - y)=2(3)，得到6x - 2y = 6。这样一来，- 2y会与第二个方程中的+2y抵消。

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把两个方程相加。两个方程相加时，用左边和左边相加，右边和右边相加。如果你使用正确的方式变形方程，其中一个变量应该会抵消。仍然以上一步中的方程组为例：

• 两个方程为6x - 2y = 6和-x + 2y = 4。
• 左侧相加得到：6x - 2y - x + 2y = ?
• 右侧相加得到：6x - 2y - x + 2y = 6 + 4。

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解最后的变量。简化相加得到的方程，然后用基础的代数方法解最后的变量。如果简化后方程没有变量，你可以直接跳到本节的最后一步。在其他情况下，你应该可以得到其中一个变量的简单解。例如：

• 你得到6x - 2y - x + 2y = 6 + 4。
• 将x变量和y变量分类排序：6x - x - 2y + 2y = 6 + 4。
• 简化得到：5x = 10
• 解x：(5x)/5 = 10/5，所以x = 2。

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解另一个变量。你已经求出一个变量，但题目还没有解完。将答案代入其中一个原始方程，解出另一个变量。例如：

• 已知x = 2，而其中一个原始方程为3x - y = 3。
• 用2代替x：3(2) - y = 3
• 解方程中的y：6 - y = 3
• 6 - y + y = 3 + y，所以6 = 3 + y
• 3 = y

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知道两个变量都抵消时应该怎么做。有时，两个方程相加会得到一个毫无意义，或至少对你解题毫无帮助的方程。从头开始，仔细检查自己的解题过程，但是，如果你确信自己没有犯错，可以按照以下情况中的一种，写下答案：

• 如果相加后的方程没有变量，而且等式不成立，比如2 = 7，则方程组无解。如果画出两个方程的图形，你会发现它们彼此平行，永不相交。
• 如果相加后的方程没有变量，而且等式成立，则方程组有无穷多解。两个方程实际上是一样的。如果画出它们的图形，你会发现它们是同一条直线。

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解出两个方程的y。让两个方程保持独立，使用代数方法，把它们变成”y = __x + __”的形式。例如：

• 第一个方程是2x + y = 5。把它变成y = -2x + 5。
• 第二个方程是-3x + 6y = 0。把它变成6y = 3x + 0，然后简化成y = ½x + 0。
• 如果两个方程相同，则两条直线会完全“重合”。你可以写方程组有无穷多解。

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画坐标轴。在一张坐标纸上画一条垂直的“y轴”和一条水平的“x轴”。从它们的交点开始，沿y轴向上标出1、2、3、4等数字，再沿x轴向右做同样的事情。沿y轴向下、x轴向左标出-1、-2等数字。

• 如果没有坐标纸，你可以使用直尺来保证各数字之间的间距正好相等。
• 如果使用的是较大的数字或小数，你可能需要以不同的方式来调整图形比例。例如，将原本标1、2、3的点标成10、20、30或0.1、0.2、 0.3。

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画出每条线的y轴截距。将方程变形成y = __x + __的形式后，你可以开始画出它的图形，首先画出直线与y轴相交的点。这个点在y轴上的值一定等于该方程最后面的那个数字。

• 在先前的例题中，第一条直线(y = -2x + 5)与y轴在5这个点相交。另一个方程(y = ½x + 0)的直线则在0这个点相交。它们对应的是图形中的(0,5)和(0,0)这两个点。
• 如果可以，你应该使用不同颜色的笔来画两条直线。

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使用斜率继续画出直线。在y = __x + __形式的方程中，x前面的数字就是直线的斜率。x的值每增加1时，y值的增量等于斜率。利用这一规律，在图形中画出x=1时，两条直线上的点。你也可以把x = 1代入两个方程中，求出y的值。

• 在本例题中，直线y = -2x + 5的斜率为-2。当x = 1时，直线会从x = 0的位置向下移动2个单位。画出(0,5)和(1,3)之间的线段。
• 直线y = ½x + 0的斜率是½。当x = 1时，直线会从x = 0的位置向上移动½个单位。画出(0,0)和(1,½)之间的线段。
• 如果两条直线有相同的斜率，那么它们会永不相交，所以方程组无解。你可以写下无解二字。

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延长两条直线，直至它们相交。停下来观察图形。如果两条直线已经相交，则跳到下一步。否则，你应该根据直线的情况作出决定：

• 如果两条直线互相靠拢，那么你应该继续在这个方向上画更多的点。
• 如果两条直线彼此相距越来越远，那么你应该从x = -1开始，朝另一边画更多的点。
• 如果两条直线相距较远，试着往前画出更远的点，比如x = 10那一点。