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如何因式分解三次多项式

2024-09-02 14:14:26 生活经验 admin

部分 1通过组合来分解

1

分组后分开解决。

  • 比如要分解多项式x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0。可以把它分解为 (x3 + 3x2)和 (- 6x - 18)

  • 2

    • 在(x3 + 3x2)中，x2是公因子。
    • 在(- 6x - 18)中， -6 是公因数。

  • 3

    • 把x2从第一项提出来，得出x2(x + 3)。
    • 把-6 从第二项提出来，得出-6(x + 3)。

  • 4

    • 得到(x + 3)(x2 - 6)。

  • 5

    若在开根的时候有x2，记得可能有正负两解。

    • 得出-3、√6和-√63。

    • 部分 2利用自由项

    1

    • 比如要分解多项式：x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0。

  • 2

    常数"d"是不含如"x"变量的数。

    • 因数就是可以相乘得到另一个数的数。这里，10或 "d"的因数是: 1、 2、 5 和 10。

  • 3

    当用d的因数替代"x"时，我们要看看哪个符合方程的解。

    • 试试第一个因数 1 ，把x替换掉，得到 (1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0
    • 得到 1 - 4 - 7 + 10 = 0。
    • 因为 0 = 0 是真实的，所以x = 1 是一个解。

  • 4

    • "x = 1" 等价于"x - 1 = 0" 或 "(x - 1)" 。我们刚刚从每边都减掉了一个1。

  • 5

    "(x - 1)" 是我们的一个根，看看能不能把剩余的解都提出来，一次解决一个多项式。

    • 可不可以把(x - 1) 从 x3 提出来？ 不行，但是可以从第二项借一个 -x2 ，分解为 x2(x - 1) = x3 - x2。
    • 可不可以把(x - 1) 从剩余部分提出来？不行，要从第三项 -7x 借一个 3x。于是得到-3x(x - 1) = -3x2 + 3x。
    • 因为 -7x 中提取出一个 3x，第三项变为 -10x ，而我们的常数是10。可以分解吗？可以！ -10(x - 1) = -10x + 10。
    • 我们改变了一些变量，让其可以分解出 (x - 1) 。重新整理的方程是这样的： x3 - x2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0 ，但和原先 x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0 没什么差别。

  • 6

    仔细观察我们在第五步中用(x - 1) 因式分解出的数字：

    • x2(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0。可以重新整理，要再一次分解容易得多: (x - 1)(x2 - 3x - 10) = 0。
    • 只需要因式分解(x2 - 3x - 10) ，得到(x + 2)(x - 5)。

  • 7

    可以把每一项都代回去试试看对不对。

    • (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0 表示解是 1、 -2、5。
    • 把-2 代入等式：(-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0。
    • 把 5 代入等式：(5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0。

    • 小提示

    • 三次多项式是三个一次多项式的积，或者一个无法分解的二次多项式和一个一次多项式的积。后面的情况，我们将整个等式除以一次多项式得到二次多项式。
    • 三次多项式一定能因式分解得出实数解，因为每个三次项都一定有个实根。三次方多项式如x3 + x + 1含有无理实根，不能被因式分解成含有整数或有理数系数的多项式。虽然可以用立方方程因式分解，这种方程还是不能分解成一个“整数”多项式。

    多项式 因式分解
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