如何在微积分中求导

步骤

下列两种表示方法是最常见的，不过在这里也可以找到各种记号方法。

莱布尼茨符号。如果有y 和x两个变量，这是最常用的。 dy/dx 就是y关于x的导数。如果想成Δy/Δx可能会更好办点， x 和 y 在这里有极其微小的差别。这个表达式也表示导数的极限定义： limh->0 (f(x+h)-f(x))/h。表达二阶导数的时候要写 d2y/dx2
拉格朗日符号。f函数也被写成 f'(x)。这个念作"f撇x"。这个记号比上面那个简单，看起来也比较容易。要更高阶的导数，只要给f加 " ' "，因此二阶导数是f(x)。

首先若要找出直线的斜率，只要选取两个点，把坐标代入(y2 - y1)/(x2 - x1)。但是这只适用于直线方程。要是要找曲线的斜率，要找两个点，代入 [f(x + dx) - f(x)]/dx。 Dx表示"delta x，" 表示两个x坐标的差。注意这个公式和(y2 - y1)/(x2 - x1)差不多，只不过形式不同。因为曲线上用这种方法会出现偏差，所以要用非直接的方法找出斜率。要找出 (x, f(x))的斜率， dx 要趋于0，于是这两个点会无限接近另一个点。但是分母也不能等于0，所以把两个点的值代入以后，要用因式分解等等方法把分母的dx消掉。消掉后，让dx 等于 0，得出等式。这就是 (x, f(x))的斜率了。导数是用来找出任何曲线的斜率的一般公式。看起来很麻烦，但是下面有一些例子来解释给你看。

方法 1显微分

如 y = x2，代入后[(x + dx)2 - x2]/dx.

把上下两个dx消去。得到2x + dx，让dx 趋近 0, 得到2x。这表示任何y = x2 曲线的斜率是 2x。代入x，得到一个点的斜率

任何次数的导数都是次数乘以原方程-1次。比如x5 的导数是 5x4， x3.5 导数是 3.5x2.5。若x前已有数字，直接和次数相乘就行。如3x4 求导得12x3。
任何常数的导数是0。 8 的导数是0
和的导数是导数的和。比如 x3 + 3x2 求导得3x2 + 6x
积的导数是第一项乘以后一项的导数加上后一项乘以前一项的导数。如 x3(2x + 1) 得 x3(2) + (2x + 1)3x2，即8x3 + 3x2
商的导数是(假设是 f/g形式) [g(f导数) - f(g导数)]/g2。(x2 + 2x - 21)/(x - 3) 求导得 (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2。

方法 2隐微分

即便硬要把y写到一边，用 dy/dx 求导也很麻烦。下面例子告诉你如何解决这类问题

然后就会变成x2f(x) + 2[f(x)]3 = 3x + 2f(x) 。

要求导此方程，求等式两侧的关于x的微分（求导的专业术语），得到：x2f'(x) + 2xf(x) + 6[f(x)]2f'(x) = 3 + 2f'(x).

注意不要对f'(x)也替换，因为这东西和f(x)不一样。

之后答案就会变成(3 - 2xy)/(x2 + 6y2 - 2)。

方法 3高阶求导

如果叫你求三阶导数，意思是求导数的导数的导数。有的例子高阶导数会是0.

方法 4链式法则

y关于x的导数 (dy/dx) 就是 (dy/du)*(du/dx)。链式法则可以用于复合次数项的等式，比如 (2x4 - x)3。要求导，只要类似求积法则，把整个等式乘以次数，把整个等式的次数减一。然后把整个等式乘以内部项的导数，（这里是 2x4 - x）。答案就是3(2x4 - x)2(8x3 - 1)。