如何手算平方根

方法 1手算平方根

从小数点开始，将数位分成一对一对的：79,520,789,182.47897变成"7 95 20 78 91 82. 47 89 70"。我们的例子中，要计算780.14的平方根，先如图画两条线，然后左边写"7 80. 14" ，右上方可以得到780.14的平方根。

本例中这对数字就是7，2×2 ≤ 7 < 3×3，因此n = 2。在右上角写出2，这就是平方根的第一位。下面写出2×2=4，下一步要用到。

这里用7减4，得到3。

让右上方的数字乘以2，然后写右下方各自里，加上"_×_="。比如，下一对数字是 "80"： "80" 写在3旁边，让2乘以2，得到4：把"4_×_=" 写在下面。

本例子中，如果用8，得到384，大于380，因此8太大了。不过7就可以了。7写上去得到329，右上写下7：7就是780.14平方根的第二位数字。

本例中，380-329=51。

因为现在要处理小数部分，因此在右上写出小数点。“14”这对数写下来，27两倍是54 ，因此在下面写 "54_×_="。

找出最大的数，使得放进横线乘出来的积，小等于左边的数字（5114），这里得到9，在右上方写出9。然后将5114减去乘得的积：得到173。

方法 2以上步骤的原理解释

因此你要计算正方形的边长L，L² = S.

和除法一样，你一次只关注一个数位，这里计算平方根，我们也就考虑两位数（计算得到的是平方根数的每一个数）。同样和除法一样，小数点位置不重要，你可以随后再加上去。

第一位数A就是最大的、其平方不超过Sa的数字（即A² ≤ Sa < (A+1)²）。本例中， S1 = 7， 2² ≤ 7 < 3² ，因而 A = 2。

这表示有个 d 使得 7×d ≤ 8 < 7×(d+1)。 d 等于 1

考虑这里的 (10A+B)² = 100A² + 2×10A×B + B²。 (要记住，10A+B 就是个位数是B 、十位数是A 的数：A=1 ，B=2， 10A+B 就是（12）。 (10A+B)² 就是整个正方形的面积。 100A² 就是内部最大的正方形面积， B² 是小正方形的面积，10A×B 是每个长方形的面积。

因为前面的系数是100，所以要将S中的一对数(Sb)写下来：这里总面积需要是"Sa Sb" ，而你这时把100A² (大正方形的面积)减掉了。现在步骤4得到的N1（本例中为380）就是剩下部分的面积。N1就等于2×10A×B + B² (两个矩形的面积加小正方形的面积).

也可以写作 N1 = (2×10A + B) × B。现在知道N1(=380) 和 A(=2)，要找B。 B很大可能不是整数，因此要找出最大满足(2×10A + B) × B ≤ N1条件的B ( B+1 就会超过范围了，因此也有： N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1))

在这里可以将A乘以2，改变为十位数（换句话说就是乘以10），B放在个位数位置，然后将以上的和乘以B。得到(2×10A + B) × B 这个和步骤4中的 "N_×_=" ( N=2×A) 是一样的。在步骤5中，你可以找出最大满足(2×10A + B) × B ≤ N1的整数B。

用总面积再减去 (2×10A + B) × B （步骤6左边），得到一个面积：S-(10A+B)²，这个量我们还没计算（下面的步骤会类似地用它算出下一位的数字C）

要计算C，重复步骤：把Sc这对数字从S写下来，然后看看最大满足 (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2的整数是多少 (就类似写出"A B" 两位数，然后后面跟着"_×_=" ，找出能写在横线上满足条件的最大数字)。

小提示

把小数点右移两位（作为百位数），右移一位（作为十位数）。
例子中 1.73 可以看做“余数：780.14 = 27.9² + 1.73
这个方法可以适用于任何位数的，不仅仅是十位数。
可以任意写出计算过程。有的人喜欢把结果数字写在要计算平方根的数字上。
还有另一种方法是用连分式来解的，可以在这里找到：

√z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + ...))).

比如要计算780.14的平方根，平方最接近780.14 的数是 28，因此z=780.14, x=28, y=-3.86。代入，计只算x + y/(2x)的估计值 (最简项)是 78207/2800 ，大约27.931(1); 计算下一项，得 4374188/156607 大约27.930986(5)。每项都大概比前一项加3 小数位的精确值。