如何求等差数列的任意项

方法 1求等差数列的下一项

面对一组数字时，有时题目会告诉你它们是等差数列，而有时你必须自己认识到这一点。无论是哪种情况，第一步都是相同的。从几个数字中选择最开始的两项。用第二项减去第一项。所得结果就是数列的公差。

例如，假设有一组数字 1 , 4 , 7 , 10 , 13 {displaystyle 1,4,7,10,13}
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只计算前两项的公差，不足以保证数列是等差数列。你需要确保整列数字的差值始终一致。。将数列中另外两个连续项相减，检查它们的差值。如果结果与另外一到两次的结果一致，那么它就很可能是等差数列。
- 还是以数列 1 , 4 , 7 , 10 , 13 {displaystyle 1,4,7,10,13}
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  知道公差后，求等差数列的下一项就非常简单了。只需用公差加上最后的已知项，就可以得出下一个数字。
  - 例如，在示例 1 , 4 , 7 , 10 , 13 {displaystyle 1,4,7,10,13}
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    某些情况下，题目会给出一组缺少中间项的数字。和之前一样，首先你应该检查数列是否是等差数列。选择任意的连续两项数字，计算它们之间的差值。比较结果与数列中另外两个连续数字的差值。如果差值相等，那么你可以假设自己面对的是一个等差数列，然后继续使用本文的等差数列方法。
    - 例如，假设有一个数列 0 , 4 {displaystyle 0,4}
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      方法和求数列最后一项类似。找到数列中空格前的那一项。这是已知的“最后一个”数字。用公差加上该项，算出应该填入空格的数字。
      - 在当前示例中， ${displaystyle 0,4}$
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        为了确保答案正确，可以从另一个方向来进行检查。无论是正序还是倒序，等差数列应该都符合自身特点。如果从左到右需要逐项加4，那么反过来，从右到左就正好相反，需要逐项减4。
        在当前示例中， ${displaystyle 0,4}$
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        用左边项加公差和用右边项减公差算出来的两个结果应该相等。如果相等，说明你已经求得缺少项的值。如果不相等，则说明你需要检查自己的计算过程。题目中的数列可能并非等差数列。
        在当前示例中， ${displaystyle 4+4}$
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        并非所有序列都以数字0或数字1开始。查看题中的数列，找到第一项。它是计算的起点，可以使用变量a(1)代表。
        面对等差数列问题时，经常会使用变量a(1)来指代数列的第一项。当然，你可以选择自己喜欢的任何变量，这并不会影响到结果。
        例如，已知数列 ${displaystyle 3,8,13,18}$
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        用上文所述方法求出数列的公差。在当前示例中，公差等于 ${displaystyle 8-3}$
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        显式公式是一个代数方程，使用它来求等差数列的任意项时，你无须写出完整数列。等差数列的显式公式为 ${displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}$
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        使用数列的显式公式，填入已知信息，求出需要的项。
        例如，在本示例中， ${displaystyle 3,8,13,18}$
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        使用显式公式和基础的代数知识，你可以算出等差数列的几个其他数值。显式公式的初始形式是 ${displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}$
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        已知等差数列的第50项为300，且每项比之前一项大7，即“公差”等于7，求序列第一项的值。使用变形后的显式公式来计算a1，求得问题的答案。
        使用方程 ${displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n)}$
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        假设你只知道等差数列的第一项和最后一项，需要求数列的项数。使用变形后的公式 ${displaystyle n={frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}$ 。
        假设已知等差数列的第一项是100，公差为13。题目还告知最后一项是2,856。要计算数列的项数，可以用到的信息有a1=100，d=13，以及a(n)=2856。将这些值代入公式，得到 ${displaystyle n={frac {2856-100}{13}}+1}$ 。计算后，可得 ${displaystyle n={frac {2756}{13}}+1}$ ，等于212+1，即213。所以该序列有213项。
        该序列可以写作100, 113, 126, 139… 2843, 2856。
        警告
        数列有多种不同类型。不要假设所有数列都是等差数列。每次一定要检查至少两对数字，最好是三对或四对，来比较各对的公差。
        小提示
        记住，d可以是正数，也可以是负数，取决于它是相加还是相减。