如何求3X3矩阵的行列式

部分 1求行列式

我们从3x3矩阵A开始，试着找出它的行列式|A|。下面是我们将使用的一般矩阵表示法，以及示例矩阵：

M = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) = ( 1 5 3 2 4 7 4 6 2 ) {displaystyle M={begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}a_{21}&a_{22}&a_{23}a_{31}&a_{32}&a_{33}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}1&5&32&4&74&6&2end{pmatrix}}}
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这将是引用行或列。不管你选哪一行或列，结果都是一样的。现在，只选择第一行。稍后，我们将给出一些关于如何选择最简单的计算方法的建议。
- 我们选择示例矩阵A的第一行，圈出1 5 3。一般来说，圈出11 a12 a13。
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查看圈出的行或列，并选择第一个元素。通过它的行和列画线。剩下四个数字。我们把它看成一个2×2矩阵。
- 在本例中，引用行是1 5 3。第一个元素在第1行和第1列。划掉第一行和第一列。把剩下的元素写成2×2矩阵：
- ~~1 5 3~~ 2 4 1 4 6 2
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记住，这个矩阵 ${displaystyle {begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}}}$
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记住，当你决定划去哪一行和哪一列时，是从引用行（或列）中选择了一个元素。将这个元素乘以刚刚计算出的2x2矩阵的行列式。
- 在本例中，我们选择了a11，值为1。将它乘以-34（2x2矩阵的行列式），得到1*-34 = -34。
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接下来，将答案乘以1或-1来得到所选元素的代数余子式。你用哪一个取决于元素在3x3矩阵中的位置。记住这个简单的正负号图来找出哪个元素是正，哪个元素是负：
- + - +- + -+ - +
- 由于我们选择了a11，用a +标记，将结果乘以1。（也就是说，不用管它）。答案还是-34。
- 或者，你可以用公式(-1)i+j来计算正负号，其中i和j是该元素的行数和列数。
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返回到初始的3x3矩阵，包含你之前圈出的行或列。对这个元素重复相同的过程：
- 划掉这个元素所在的行和列。在本例中，选择元素a12（值为5）。划掉第一行（1 5 3）和第二列 ( 5 4 6 ) {displaystyle {begin{pmatrix}546end{pmatrix}}}
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  你还要找出一个余子式。计算引用行或列中第三项的i。在本例中，下面是计算a13余子式的简要描述：
  - 划掉第1行和第3列，得到 ( 2 4 4 6 ) {displaystyle {begin{pmatrix}2&44&6end{pmatrix}}}
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    这是最后一步。你已经算出来三个代数余子式，每个分别对应单行或单列中的每个元素。把它们加起来，你就得到了3x3矩阵的行列式。
    - 在本例中，行列式为-34 + 120 + -12 = 74。
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    如果你把一行的值加到另一行，矩阵的行列式不变。列也是如此。你可以重复这样操作，或者在加之前将值乘以一个常数，从而使矩阵有尽可能多的0。这样可以节省很多时间。
    - 例如，假设你有一个3×3的矩阵： ( 9 − 1 2 3 1 0 7 5 − 2 ) {displaystyle {begin{pmatrix}9&-1&23&1&07&5&-2end{pmatrix}}}
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      在这些特殊情况下，行列式就是主对角线上的元素的乘积，从左上角的a11到右下角的a33。我们讨论的仍然是3x3矩阵，但是“三角”矩阵有非零值的特殊模式：
      - 上三角矩阵：所有非零元素都在主对角线上或主对角线之上。下面全部是0。
      - 下三角矩阵：所有非零元素都在主对角上或主对角之下。
      - 对角矩阵：所有非零元素都在主对角上。（上述矩阵的一个子集）