如何计算等腰三角形的面积

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比较三角形和平行四边形。这两种形状之间有一种简单的关系。沿对角线将平行四边形切成两半，我们就得到了两个相同的三角形。反之，如果有两个相同的三角形，你可以将它们组合到一起，得到一个平行四边形。这意味着任何三角形的面积都可以被写成A = ½bh，即对应的平行四边形面积的一半。

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找到等腰三角形的底边。现在你已经知道公式了，但在等腰三角形中，到底什么是“底”，什么是“高”呢？底比较好理解，直接用等腰三角形不相等的第三条边就可以了。

• 例如，如果等腰三角形的边长分别为5cm、5cm和6cm，则6cm那条边就是底边。
• 如果三角形的三条边边长都相等，即该三角形是等边三角形，那么你可以选任意一条边做底边。等边三角形是特殊的等腰三角形，但你可以用相同的方法来计算面积。

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在底边和对角顶点之间画一条线段。画的线段与底边应该成直角。线段的长度就是三角形的高，我们以“h”指代。算出“h”的值后，你就能求出面积。

• 在等腰三角形中，这条线段与底边的交点总是位于底边的中点。

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看看等腰三角形的半边。注意，是用等腰三角形的高将它分成两个相同的直角三角形。看其中一个，确定三条边：

• 一条直角边的边长等于底边的一半：解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {frac {b}{2}}。
• 另一条直角边是高“h”。
• 直角三角形的斜边是等腰三角形的腰。设它为“s”。

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使用勾股定理。只要知道了两条直角边的的长度，你就能用勾股定理算出第三条边的长度：(边1)2 + (边2)2 = (斜边)2，将我们在此问题中使用的变量代入进去，得到解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): ({frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}.

• 你可能已经学过勾股定理，公式是解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): a^{2}+b^{2}=c^{2}。用“边”和“斜边”来代替a、b、c，可以避免与之前的三角形变量相混淆。

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求出“h”。记住，面积公式用要用到“b”和“h”，但你还不知道“h”值。将公式变形，求出“h”：

• 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): ({frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=s^{2}解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): h^{2}=s^{2}-({frac {b}{2}})^{2}解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): h={sqrt (}s^{2}-({frac {b}{2}})^{2})。

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将三角形的值代入进去，求出“h”。知道这个公式后，你可以将它用于任何边长已知的等腰三角形。只要将底边长度代入“b”，将腰的长度代入“s”，然后就能算出“h”的值。

• 例如，等腰三角形的边长分别为5 cm、5 cm和6 cm，则“b”= 6，而“s”= 5。
• 将这些值代入公式：解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): h={sqrt (}s^{2}-({frac {b}{2}})^{2})解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): h={sqrt (}5^{2}-({frac {6}{2}})^{2})解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): h={sqrt (}25-3^{2})解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): h={sqrt (}25-9)解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): h={sqrt (}16)解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): h=4 cm。

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在面积公式中代入底和高。知道这些值后，你就可以使用本节开头的公式了，即面积 = ½bh。将你已知的b和h值代入到本公式中，计算出答案。记得为你的答案加上平方单位。

• 这里仍然使用以上示例，边长为5-5-6的三角形底长为6 cm，高为4 cm。
• A = ½bhA = ½(6cm)(4cm)A = 12cm2。

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试着解答难度更高的例题。大部分等腰三角形的面积计算难度要高于以上示例。算出的高通常包含平方根，无法被简化为整数。如果出现这种情况，可以将高写成简化形式的平方根。这里有一个示例：

• 求边长分别为8cm、8cm和4cm的三角形的面积。
• 将边长为4cm，与其他边的边长不相等的那条边当做“b”。
• 高解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): h={sqrt {8^{2}-({frac {4}{2}})^{2}}}解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): ={sqrt {64-4}}解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): ={sqrt {60}}
• 分解因数来简化平方根：解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): h={sqrt {60}}={sqrt {4*15}}={sqrt {4}}{sqrt {15}}=2{sqrt {15}}。
• 面积 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): ={frac {1}{2}}bh解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): ={frac {1}{2}}(4)(2{sqrt {15}})解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): =4{sqrt {15}}
• 答案写成这个样子就可以了，你也可以在计算器中输入这个值，求出一个近似的小数，即约15.49平方厘米。

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将等腰三角形分成两个直角三角形。以两条腰的交点为起点，向底边画一条垂直于底边的线段。这样，你就得到了两个相同的直角三角形。

• 这条线段将角θ分成了两个相等的角。两个三角形各有一个角的角度等于½θ，而在本例中，(½)(120) = 60度。

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使用三角学，算出“h”的值。由于得到的是直角三角形，所以你可以使用正弦、余弦和正切三角函数。本例题中，你知道斜边，想算出与已知角的邻边“h”的长度值。由于余弦 = 邻边/斜边，我们可以利用已知角求出“h”：

• cos(θ/2) = h / s
• cos(60º) = h / 10
• h = 10cos(60º)

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算出剩下那条边的长度。在这个直角三角形中，还有一条边的长度是我们未知的，你可以将它设为“x”。因为正弦 = 对边/斜边，所以：

• sin(θ/2) = x / s
• sin(60º) = x / 10
• x = 10sin(60º)

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将x与等腰三角形的底边关联起来。现在你可以将关注的对象“扩大到”整个等腰三角形。由于底边“b”被分为两段，每段长度均为“x”，所以“b”等于2倍的“x”。

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将你算出的“h”值和“b”值代入到基础的面积公式。知道底边和高的长度后，你可以使用标准公式A = ½bh：

• 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): A={frac {1}{2}}bh解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): ={frac {1}{2}}(2x)(10cos60)解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): =(10sin60)(10cos60)解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): =100sin(60)cos(60)
• 你可以使用计算器的角度计算，将结果输入到计算器中，这样算出来的答案是约等于43.3平方厘米。或者，你可以应用三角函数的特性，把它简化为A = 50sin(120º)。