如何分解因式

方法 1分解数字和基本的代数式

因式分解的概念很简单，但是在实际操作中，对复杂的方程进行因式分解却并不容易。因此，先从单个数字的因式分解开始，然后再应用到基本的代数式中，最后再来解决复杂的问题。一个数字的因子，是相乘之后的积为该数字的几个数。比如，12的因子是1, 12, 2, 6, 3, 4。因为1 × 12, 2 × 6, and 3 × 4 的结果都是12。

也可以这样理解，即一个数字的因子，是能整除这个数的数字。
你能求出60的所有因子吗？因为60可以被很多数字整除，所以60是很常用的一个数字（比如1小时有60分钟，1分钟有60秒，等等）。
- 60的因子是1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

就好像数字可以被分解一样，变量的常数系数也可以被分解。因此，你需要先找到变量的系数。对变量进行分解是简化代数方程的重要环节。

比如，12x可以看做是12和x的乘积。我们可以将12x写作3(4x), 2(6x), 等等，只要写成12的因数相乘的形式即可。
- 我们还可以将12的因数再进一步分解，换句话说，并不是分解到3(4x)或2(6x)就结束了，而是继续将4x和6x分解成3(2(2x)和2(3(2x)。显然，两个表达式的结果是一样的。

利用分解数字和带系数的变量的方法，你可以将数字和带系数的变量分解成含有相同因数的形式，从而简化表达式。通常，为了尽可能的简化，我们需要求两个数的最大公因数。而之所以可以这样化简的根据，是乘法的分配律，即对于任意的a, b, c, a(b + c) = ab + ac。

举例来说。对12 x + 6，进行因式分解。首先，先求出12x和6的最大公因数。6是最大的既可以整除12又可以整除6的数，所以可以化简成6(2x + 1)。
对于负数和分数也一样适用。比如，x/2 + 4，可以写成1/2(x + 8),，-7x + -21可以写成-7(x + 3)。

方法 2分解二次方程

二次方程的标准形式是ax2 + bx + c = 0，其中a, b, c是常数，并且a不为0(a可以是1或-1)。如果方程有1个变量(x)，并且有1个或多个x的平方，你可以将等号一侧的变量移到等号另一端，让等号一端为0，另一端有ax2等。

比如，代数方程。5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18可以简化成 x2 + 6x + 9 = 0，转化成标准二次方程形式。
方程中有更高次的x项，比如x3，x4等。这样的方程是三次方程或四次方程，以此类推，除非大于2次的x项可以约去，否则这样的方程不是二次方程。

如果二次方程的形式是x2 + bx + c = 0 (换句话说，x2的系数为1)，那么这样的方程可能（不保证）分解成这样的形式。找到两个数，它们的积是c，和是b，当你找到这样的两个数d和e之后，你就可以得到如下： (x+d)(x+e)。这两项的乘积就是原二次方程，换句话说，这两项就是二次方程的因式。

比如，方程x2 + 5x + 6 = 0。 3和2的乘积是6，3和2的和是5，所以方程可以写成(x + 3)(x + 2)。
根据具体方程的不同，最终结果的形式也有不同：
- 如果方程的形式是x2-bx+c，那么结果的形式是：(x - _)(x - _)
- 如果方程的形式是x2+bx+c，那么结果的形式是：(x + _)(x + _)
- 如果方程的形式是x2-bx-c，那么结果的形式是：(x + _)(x - _)
注意：上式空格中的数字可以是分数或小数，比如方程x2 + (21/2)x + 5 = 0的因式分解结果是 (x + 10)(x + 1/2)

信不信由你，对于一些简单的二次方程，一种简单的因式分解方法就是试验，将你认为可能的因式带入，直到你找到正确的因式为止。这样的方法叫试验法。如果方程的形式是ax2+bx+c且a>1，最终的因式分解的结果的形式可能是(dx +/- _)(ex +/- _)，其中d和e是非零常数，且乘积为a。d或e可以为1（或者都为1），对于这个并没有硬性规定。如果d和e都为1，那么你可以使用上文的方法进行因式分解。

举个例子来说明。方程3x2 - 8x + 4，第一眼看上去很吓人。然后，当我们意识到3的因式只有2个（3和1）时，问题就变得简单了，因为我们知道最后的形式一定是(3x +/- _)(x +/- _)。在本例中，空格处都填-2，即为正确结果。-2 × 3x = -6x 和-2 × x = -2x；-6x和-2x的和是-8x；-2 × -2 = 4，所以，括号内的因式相乘的结果就是原式。

某些情况下，利用一些公式，二次方程可以很快很容易的因式分解。利用公式x2 + 2xh + h2 = (x + h)2，如果一个二次方程中，b的值是c的平方根的两倍，那么方程就可以转化成(x + (sqrt(c)))2的形式。

比如，方程x2 + 6x + 9符合上述要求。32 =9，3 × 2= 6。所以，方程的因式分解结果是(x + 3)(x + 3)，或者(x + 3)2。

不论你的因式分解结果是什么，因式分解之后，你可以令每个因式的结果为0，从而解出x的值。由于你要找的x是能够让方程为0的值，所以一个能够让因式为0的x的值就是你要求的x。

让我们回到方程x2 + 5x + 6 = 0中。因式分解的结果是(x + 3)(x + 2) = 0。如果任意一个因式为0，那么整个方程的结果也为0，所以可能的x的解是让(x + 3) 和(x + 2)等于0的值。解得的结果分别是-3和-2。

当你求出了x的可能的值之后，将它们分别代入原方程，检查一下它们是否是方程的解。有时，你求出来的结果可能无法让原方程的值为0，这样的值要舍去。

将-2和-3代入方程x2 + 5x + 6 = 0。首先，代入-2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0。正确，所以-2是方程的解。
再代入-3:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0。正确，所以-3也是方程的解。